Exámenes de probabilidad: distribución normal y binomial

La probabilidad y la estadística son áreas fundamentales en las matemáticas que se utilizan en múltiples aplicaciones en la vida cotidiana y en diversas disciplinas. Estudiar y entender estos conceptos puede ser la clave para superar con éxito los exámenes de matemáticas. A continuación, te ofrecemos un repaso exhaustivo sobre los temas de probabilidad, con ejercicios prácticos y ejemplos resueltos que te ayudarán a prepararte para tus exámenes.

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Introducción a la probabilidad

La probabilidad es la medida de la certeza de que ocurra un evento. Se expresa en un rango que va de 0 a 1, donde 0 indica que el evento no ocurrirá y 1 indica que el evento ocurrirá con certeza. Existen diferentes formas de calcular la probabilidad, dependiendo del tipo de evento y de los datos disponibles.

Los conceptos básicos que debes dominar incluyen:

• Eventos: Resultados posibles de un experimento.
• Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles.
• Eventos Independientes: Eventos cuya ocurrencia no afecta la probabilidad del otro.
• Eventos Mutuamente Excluyentes: Eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Ejercicios prácticos de probabilidad

Para ayudarte a entender mejor la probabilidad, aquí tienes algunos ejercicios prácticos:

Ejercicio 1: Fábrica de piezas

Una fábrica de piezas para aviones tiene tres secciones. La sección A fabrica el 30% de las piezas, la B el 35% y el resto en la sección C. Las probabilidades de que una pieza sea defectuosa son 0.01, 0.015 y 0.009 respectivamente.

1. Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar salga defectuosa.
2. Si se elige una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la sección B?

Ejercicio 2: Uso de teléfonos móviles

Según un informe, el 63% de los usuarios de móviles en España tiene un “Smartphone”. Entre ellos, el 77% lo utiliza para conexión a Internet, mientras que solo el 8% de los propietarios de otros móviles lo utilizan para lo mismo.

1. Calcula la probabilidad de conectarse a Internet mediante el móvil.
2. Si un usuario se conecta a Internet, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un “Smartphone”?

Ejercicio 3: Clima en junio

En una ciudad, la probabilidad de que llueva un día de junio es del 10% y de que haga sol, 75%. Si no es posible que llueva y haga sol simultáneamente, ¿qué probabilidad hay de que no ocurra ninguno de los dos?

Ejercicio 4: Ascensores en un edificio

Un edificio tiene dos ascensores. El primero se utiliza el 45% de las ocasiones y el segundo el resto. El primero tiene un 5% de fallos y el segundo un 8%.

1. Calcula la probabilidad de que el ascensor que falló haya sido el primero.

Distribución binomial: Conceptos y ejercicios

La distribución binomial se utiliza para modelar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso. Es fundamental en situaciones donde se conoce la probabilidad de éxito en cada intento.

Ejercicio 1: Acertar en un tiro

La probabilidad de que un tirador acierte el blanco es de 1/4. Si tira 5 veces, calcula:

1. La probabilidad de que acierte como máximo 2 veces.
2. La probabilidad de que acierte al menos una vez.

Ejercicio 2: Clientes morosos en un banco

El 5% de los clientes de un banco son morosos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un moroso entre 10 clientes elegidos al azar?

Distribución normal: Fundamentos y aplicaciones

La distribución normal es una de las distribuciones más importantes en estadística. Se caracteriza por su forma de campana y se utiliza para describir fenómenos naturales, como la altura de las personas o la duración de la vida útil de un producto.

Ejercicio 1: Peso de recién nacidos

El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal con una media de 3.5 kg y una desviación estándar de 0.5 kg. Calcula las siguientes probabilidades:

1. Que un recién nacido pese más de 4 kg.
2. Que pese menos de 3.5 kg.
3. Que pese más de 3 kg.
4. Que pese menos de 2.5 kg.

Ejercicio 2: Vida útil de baterías

La vida útil de un modelo de pila sigue una distribución normal con una media de 100 horas y una desviación estándar de 10 horas.

1. ¿Qué porcentaje tendrá una duración inferior a 120 horas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que una pila elegida al azar tenga una duración entre 90 y 110 horas?

Aproximación de la binomial a la normal

En ciertos casos, la distribución binomial puede aproximarse a la normal, especialmente cuando el número de ensayos es grande. Esta aproximación simplifica cálculos y permite usar herramientas estadísticas más avanzadas.

Ejercicio 1: Lanzamiento de monedas

Se lanza una moneda 200 veces. Calcula la probabilidad de que salgan como máximo 110 caras.

Ejercicio 2: Libros técnicos prestados

El 5% de los libros prestados en una biblioteca son técnicos. Si se analizan los últimos 500 préstamos, calcula la probabilidad de que se hayan prestado entre 25 y 30 libros técnicos.

Ejercicio 3: Vacas vacunadas

El 2% de las vacas enferman después de recibir una vacuna. Si se vacunan 600 vacas, calcula:

1. El número esperado de vacas que no enfermarán.
2. La probabilidad de que como máximo 20 vacas enfermen.

Mucha suerte en tu examen y no olvides practicar mucho para tener éxito en estas áreas de matemáticas. ¡Espero tus comentarios sobre cómo te fue!

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