Problemas resueltos de trigonometría en triángulos

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Este tema es esencial en la educación secundaria y bachillerato, donde se desarrollan habilidades importantes para la resolución de problemas. A continuación, exploraremos una serie de problemas de trigonometría resueltos que te ayudarán a afianzar tus conocimientos y a prepararte para exámenes.

Problemas de trigonometría nivel 1

Comenzaremos con problemas básicos que involucran triángulos y la aplicación de conceptos trigonométricos fundamentales. Este nivel es ideal para quienes están empezando a estudiar trigonometría.

Problema 01

Encuentra la longitud de la sombra de un árbol de 12 m de altura cuando los rayos del sol forman un ángulo de 20º con la horizontal. Ver solución

Problema resuelto

Desde un punto en el suelo, a 120 m de la base de un edificio, el ángulo de elevación a la parte más alta es de 45°. ¿Cuál es la altura de la torre? Ver solución

Problema 02

Una escalera de 9 m está apoyada en una pared, alcanzando una altura de 5 m. ¿Qué ángulo forma con el suelo? Ver solución

Problema 03

Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. Ver solución

Problema 04

De un triángulo isósceles, conocemos su lado desigual de 20 cm y su altura de 8 cm. ¿Cuánto miden sus ángulos? Ver solución

Problema 05

El lado desigual de un triángulo isósceles mide 10 cm y su ángulo opuesto 50°. Calcular el área y el perímetro. Ver solución

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Ejercicios de trigonometría nivel 2

En esta sección, abordaremos problemas más complejos que requieren un mayor entendimiento de la trigonometría y su aplicación. Estos ejercicios son ideales para quienes buscan profundizar en el tema.

Problema 06: Cálculo de áreas

Calcula la apotema y el área de un octógono regular cuyo lado mide 10 cm. Ver solución

Aplicaciones a la topografía

Problema 07

Desde un cierto lugar a nivel del suelo, se ve la terraza de un edificio con un ángulo de elevación de 60º. Si nos alejamos 20 m del edificio, el ángulo de elevación es de 30º. Hallar la altura del edificio. Ver solución

Problema 08

En la llanura, desde un punto medimos el ángulo de elevación a una montaña y se obtiene 35º. Acercándonos a la montaña una distancia de 200 m, se vuelve a medir el ángulo y se obtienen 55º. ¿Cuál es la altura de la montaña? Ver solución

Problema 09

Se quiere medir la anchura de un río. Desde una orilla, dirigimos la vista a un poste en la otra orilla obteniendo un ángulo de 53º. Al alejarnos de la orilla perpendicularmente 20 m, el ángulo es ahora de 32º. ¿Cuánto mide el río de ancho? Ver solución

Problema 10

Dos personas separadas por 1200 m observan un OVNI que vuela entre ellos con ángulos de elevación de 35º y 55°. ¿A qué altura vuela el OVNI? Ver solución

Problema 11

Una antena de radio está sujeta al suelo mediante dos cables que forman con la antena ángulos de 36º y 48º. Si los puntos de sujeción de los cables al suelo y el pie de la antena se encuentran alineados y a una distancia total de 100 m, calcula la altura de la antena. Ver solución

Ejercicio de examen sin calculadora

Sin usar la calculadora, calcula la anchura de un río y la altura de un árbol que se encuentra en una de las orillas, sabiendo que desde la otra orilla se observa su parte más alta bajo un ángulo de 60º, y si retrocedemos 5 m, el ángulo es ahora de 30º. Ver solución

Teoremas de seno y coseno en la trigonometría

Es importante destacar que hasta ahora solo hemos resuelto triángulos rectángulos mediante las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Ahora, exploraremos cómo resolver triángulos de cualquier tipo utilizando el teorema del seno y del coseno.

Ejercicios resueltos usando el teorema del seno

Ejercicio 01: En un triángulo, se conocen a=9.5 m, B=57º y C=68º. Calcula los lados b y c. Ver solución

¿Cuándo un triángulo tiene dos soluciones?

Es común en exámenes encontrar triángulos que tienen dos soluciones, y aunque existen fórmulas complejas para identificar cuándo ocurre esto, aquí presentamos dos ejemplos que ayudan a entenderlo de manera intuitiva.

Ejercicio 02: Resuelve el triángulo en el que se conocen a=30 m, A=40º y b=40 m. Ver solución

Ejercicio 03: Resuelve el triángulo en el que se conocen b=4.6 m, c=3.7 m y B=58º. Ver solución

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Cómo y cuándo usar el teorema del seno y del coseno

En el siguiente ejercicio, que es un clásico de examen, veremos cómo decidir qué teorema utilizar.

Ejercicio resuelto clásico de examen: Halla la distancia entre dos barcos C y D, sabiendo que hemos medido la distancia entre dos puntos de la costa A y B, obteniendo 450 m, y que con el teodolito hemos obtenido los siguientes ángulos: CAD=48º, BAD=57º, ABC=42º y CBD=53º. Ver solución

Ejercicio clásico de examen: En un triángulo, uno de los lados es el doble del otro y el ángulo opuesto a ese lado menor mide 30°. Calcula cuánto miden los otros ángulos. Ver solución

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