Ecuación de la elipse con centro fuera del origen

Si has llegado hasta aquí, es porque ya has dominado la elipse centrada en el origen. ¡Eso es genial! Pero en la práctica, y especialmente en exámenes de geometría analítica, las elipses suelen estar desplazadas de su posición central. En este artículo, aprenderemos a manejar la ecuación de la elipse con centro fuera del origen, representada por las coordenadas (C(h,k)). Aunque las fórmulas pueden parecer más complejas, la lógica se mantiene constante. Prepárate para convertirte en un experto en elipses. ¡Comencemos!

Definición de elipse con centro (h,k)

Una elipse se define como una figura geométrica formada por todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. En el caso de una elipse con centro fuera del origen, el centro no está en ((0,0)), sino en un punto general del plano cartesiano, representado como (C(h,k)).

Los aspectos a considerar son que los elementos geométricos de la elipse, como los vértices y los focos, se desplazan sumando (h) en el eje horizontal y (k) en el eje vertical. Esto implica que la posición de la elipse cambia, pero su forma y propiedades se mantienen.

Ecuación ordinaria y elementos de la elipse (h,k)

Al igual que en el caso de la elipse centrada en el origen, la ecuación de la elipse con centro en ((h,k)) toma una forma similar. Existen dos casos fundamentales a considerar: las elipses horizontales y verticales.

Cómo determinar si la elipse es horizontal o vertical

La clave para identificar la orientación de la elipse recae en el denominador mayor, es decir, el valor de (a^2).

• Si el número mayor está debajo de la (x), la elipse es horizontal.
• Si el número mayor está debajo de la (y), la elipse es vertical.

1. Elipse horizontal con centro en (h,k)

Cuando el eje focal es paralelo al eje X, la ecuación estándar de la elipse es:

[ frac{(x - h)^2}{a^2} + frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 ]

Los elementos clave son los siguientes:

• Vértices (Eje Mayor): [ V(hpm a, k) ]
• Focos: [ F(hpm c, k) ]
• Extremos del Eje Menor: [ B(h, kpm b) ]

2. Elipse vertical con centro en (h,k)

Cuando el eje focal es paralelo al eje Y, la ecuación toma la forma:

[ frac{(x - h)^2}{b^2} + frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 ]

Los elementos en este caso son:

• Vértices (Eje Mayor): [ V(h, kpm a) ]
• Focos: [ F(h, kpm c) ]
• Extremos del Eje Menor: [ B(hpm b, k) ]

Ecuación general de la elipse

En ocasiones, la ecuación de la elipse se presenta de forma más general:

[ Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 ]

Para que esta ecuación represente una elipse, es fundamental que se cumpla la condición (A neq B) y que ambos tengan el mismo signo. Este tipo de ecuación puede ser útil en situaciones donde la forma estándar no está disponible.

Ejercicios resueltos de elipse fuera del origen

La práctica es esencial para dominar este tema. Aquí analizaremos varios ejemplos que irán desde lo más básico hasta casos más complejos que implican la excentricidad y el lado recto.

Ejemplo 1: De la ecuación general a la ordinaria

Determina los elementos y la gráfica de la elipse dada por la ecuación general:

[ 4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0 ]

Solución: Sigamos el procedimiento para convertir la ecuación general en la forma ordinaria.

Paso 1: Agrupar términos.
Agrupamos los términos de (x) y (y), trasladando la constante al lado derecho:

[ (4x^2 - 16x) + (9y^2 + 18y) = 11 ]

Paso 2: Factorizar los coeficientes principales.
Factorizamos los coeficientes de (x^2) y (y^2):

[ 4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11 ]

Paso 3: Completar el trinomio cuadrado perfecto.
Calculamos los términos necesarios para completar los cuadrados:

• Para las (x): ((-4/2)^2 = 4)
• Para las (y): ((2/2)^2 = 1)

Ahora agregamos estos números en sus respectivos lugares, teniendo cuidado de balancear la ecuación:

[ 4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 + 2y + 1) = 11 + 16 + 9 ]

Paso 4: Factorizar a binomios al cuadrado.
La ecuación se simplifica a:

[ 4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36 ]

Paso 5: Igualar a 1.
Dividimos toda la ecuación entre 36:

[ frac{(x - 2)^2}{9} + frac{(y + 1)^2}{4} = 1 ]

Análisis de resultados:
Ahora tenemos la ecuación ordinaria. Los elementos son:

• Orientación: Horizontal, pues (9) (el denominador mayor) está bajo la (x).
• Valores de a y b:
  [ a^2 = 9 Rightarrow a = 3 ][ b^2 = 4 Rightarrow b = 2 ]
• Centro (h,k): (C(2, -1))

Calculamos (c) usando la relación (c = sqrt{a^2 - b^2}):
[ c = sqrt{9 - 4} = sqrt{5} approx 2.23 ]

Cálculo de elementos:
1️⃣ Vértices: (V(hpm a, k)) resultando en (V_1(5, -1)) y (V_2(-1, -1)).
2️⃣ Focos: (F(hpm c, k)) que dan (F_1(4.23, -1)) y (F_2(-0.23, -1)).
3️⃣ Lado Recto: (LR = frac{2b^2}{a} = frac{8}{3} approx 2.66).

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación dados los elementos

Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse que tiene su centro en (C(-2, 3)), uno de sus vértices en (V(3, 3)) y uno de sus focos en (F(1, 3)).

Solución:

Paso 1: Identificar la orientación.
Dado que el vértice y el foco tienen la misma coordenada (y), es una elipse horizontal.

Paso 2: Calcular (a) y (c).
La distancia del centro al vértice es (a = |3 - (-2)| = 5).
La distancia del centro al foco es (c = |1 - (-2)| = 3).

Paso 3: Calcular (b).
Usamos (a^2 = b^2 + c^2):
[ b = sqrt{5^2 - 3^2} = 4 ]

Paso 4: Sustituir en la fórmula.
Usamos la ecuación horizontal:
[ frac{(x + 2)^2}{25} + frac{(y - 3)^2}{16} = 1 ]

Más casos de estudio: dominando la elipse 🚀

En algunos problemas, no se nos brinda la ecuación de forma directa, sino que se ofrecen pistas como la excentricidad, el lado recto o las coordenadas de los focos. Veamos cómo resolver estos casos especiales.

Ejemplo 3: Obtener la ecuación general dados vértices y focos

Determina la ecuación general de la elipse cuyos vértices son (V_1(6, 4)) y (V_2(-2, 4)), y uno de sus focos está en (F(5, 4)).

Solución:

Paso 1: Análisis de coordenadas.
La coordenada (y) es constante, lo que indica que la elipse es horizontal.

Paso 2: Encontrar el centro (h,k).
El centro es el punto medio entre los dos vértices:

[ C(2, 4) ]

Paso 3: Calcular a, c y b.

• Valor de a: Distancia del centro al vértice, (a = 4).
• Valor de c: Distancia del centro al foco, (c = 3).
• Valor de b: Usando (a^2 = b^2 + c^2), obtenemos (b = sqrt{7}).

Paso 4: Ecuación ordinaria.
La ecuación es:
[ frac{(x-2)^2}{16} + frac{(y-4)^2}{7} = 1 ]

Paso 5: Transformar a general.
Multiplicamos por (112) (mínimo común múltiplo de los denominadores):

[ 7(x-2)^2 + 16(y-4)^2 = 112 ]

Ejemplo 4: Usando la excentricidad y focos

Halla la ecuación de la elipse que tiene sus focos en (F(2, 5)) y (F(2, -3)), con una excentricidad (e = 0.8).

Solución:

Paso 1: Orientación y centro.
Los focos indican que es una elipse vertical.

Paso 2: Obtener c y a.
La distancia entre los focos es (2c) (8 unidades), por lo que (c = 4).
Usamos (0.8 = frac{4}{a}) para calcular (a):
[ a = 5 ]

Paso 3: Obtener b.
[ b^2 = 25 - 16 = 9 ]

Paso 4: Sustituir en la fórmula vertical.
La ecuación es:
[ frac{(x-2)^2}{9} + frac{(y-1)^2}{25} = 1 ]

Ejemplo 5: Elipse definida por vértices y lado recto

Encuentra la ecuación ordinaria de la elipse cuyos vértices del eje mayor son (V(10, 2)) y (V(-2, 2)) con longitud del lado recto de (5).

Solución:

Paso 1: Determinar orientación y centro.
Dado que los vértices tienen la misma coordenada (y), es horizontal.

Paso 2: Calcular el valor de (a).
La distancia del centro (C(4, 2)) a uno de los vértices es (a = 6).

Paso 3: Usar el lado recto para hallar (b).
Usamos la fórmula del lado recto: (LR = frac{2b^2}{a}). Sustituyendo tenemos (b^2 = 15).

Paso 4: Escribir la ecuación.
La ecuación final es:
[ frac{(x-4)^2}{36} + frac{(y-2)^2}{15} = 1 ]

Ejemplo 6: Reducción de general a ordinaria (caso especial)

Reduce la siguiente ecuación general a su forma ordinaria:

[ x^2 + 4y^2 - 6x + 16y + 21 = 0 ]

Solución:

Paso 1: Agrupar términos.
[ (x^2 - 6x) + (4y^2 + 16y) = -21 ]

Paso 2: Factorizar coeficientes.
[ (x^2 - 6x) + 4(y^2 + 4y) = -21 ]

Paso 3: Completar cuadrados.

• Para (x): ((-6/2)^2 = 9).
• Para (y): ((4/2)^2 = 4).

Logramos la ecuación:
[ (x - 3)^2 + 4(y + 2)^2 = 4 ]

Paso 4: Igualar a 1.
Dividimos entre 4:

[ frac{(x - 3)^2}{4} + frac{(y + 2)^2}{1} = 1 ]

Análisis final:
Es una elipse horizontal con centro en (C(3, -2)), donde (a = 2) y (b = 1).

Ejemplo 7: Eje menor y foco desalineados

Determina la ecuación de la elipse cuyos extremos del eje menor son (B_1(3, 8)) y (B_2(3, 2)), y uno de sus focos está en (F(7, 5)).

Solución:

Paso 1: Analizar el eje menor.
Los extremos son ( (3, 8) ) y ( (3, 2) ), indicando que el eje menor es vertical.

Paso 2: Encontrar el centro y (b).
El centro es el punto medio:
[ C(3, 5) ].
Y la distancia al extremo es (b = 3).

Paso 3: Calcular (c) y (a).
La distancia al foco es (c = 4) y usando (a^2 = b^2 + c^2), tenemos (a = 5).

Paso 4: Ecuación ordinaria.
La ecuación es:
[ frac{(x-3)^2}{25} + frac{(y-5)^2}{9} = 1 ]

Ejercicios propuestos para practicar

¿Listo para poner a prueba tus habilidades? Intenta resolver los siguientes problemas por tu cuenta antes de revisar las soluciones.

Problema propuesto 1

Halla la ecuación ordinaria de la elipse con ecuación general:

[ 9x^2 + 4y^2 - 54x - 8y + 49 = 0 ]

Problema propuesto 2

Determina las coordenadas de los focos de la siguiente elipse:

[ frac{(x+1)^2}{16} + frac{(y-2)^2}{25} = 1 ]

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