Ecuación de hipérbola centrada en el origen

Definición de la Hipérbola

Matemáticamente, se puede expresar que una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (P) tal que:

[ |d_1 - d_2| = 2a ]

donde (d_1) y (d_2) son las distancias desde cualquier punto (P) en la hipérbola a los dos focos. Esta propiedad distintiva la diferencia de otras cónicas, como las elipses, que se basan en sumas.

⚠️ ¡Cuidado con esta Fórmula!

En la hipérbola, la relación entre (a), (b) y (c) es diferente a la de la elipse. Aquí, siempre se cumple que:

[ c^2 = a^2 + b^2 ]

Recuerda siempre que (c > a) y (c > b).

💡 Truco para las Asíntotas

No es necesario memorizar múltiples fórmulas de asíntotas. Simplemente despeja (y) de la ecuación de la hipérbola cuando esta está igualada a 0. Esto te dará automáticamente la pendiente correcta.

Ejemplo 1: Análisis de una ecuación general

Determina los elementos (vértices, focos, asíntotas) y traza la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación: ( 9x^2 - 4y^2 - 36 = 0 ).

Paso 1: Transformar a la forma canónica.
Primero, movemos el término independiente al lado derecho:

[ 9x^2 - 4y^2 = 36 ]

Dividimos toda la ecuación entre 36:

[ frac{9x^2}{36} - frac{4y^2}{36} = 1 ]

Simplificamos:

[ frac{x^2}{4} - frac{y^2}{9} = 1 ]

Paso 2: Identificar el tipo de hipérbola.
El término (x^2) es positivo, lo que indica que es una Hipérbola Horizontal.

Paso 3: Obtener los parámetros (a), (b) y (c).
De la ecuación (frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1), deducimos:

• ( a^2 = 4 Rightarrow mathbf{a = 2} )
• ( b^2 = 9 Rightarrow mathbf{b = 3} )

Para hallar (c) (distancia focal), aplicamos Pitágoras:

[ c = sqrt{4 + 9} = sqrt{13} approx 3.6 ]

Paso 4: Calcular los elementos.

• Vértices (V(pm a, 0)): ( V_1(2, 0) ) y ( V_2(-2, 0) )
• Focos (F(pm c, 0)): ( F_1(sqrt{13}, 0) ) y ( F_2(-sqrt{13}, 0) )
• Extremos conjugados (B(0, pm b)): ( B_1(0, 3) ) y ( B_2(0, -3) )
• Lado Recto: ( LR = frac{2b^2}{a} = frac{2(9)}{2} = mathbf{9} )
• Excentricidad: ( e = frac{c}{a} = frac{sqrt{13}}{2} approx 1.8 )

Paso 5: Ecuaciones de las asíntotas.
La pendiente es ( m = pm frac{b}{a} ):

[ y = pm frac{3}{2}x ]

Esto nos da dos rectas: ( 3x - 2y = 0 ) y ( 3x + 2y = 0 ).

Gráfica:
Aquí podemos ver la representación gráfica con sus asíntotas:

Ejemplo 2: Hipérbola vertical dada su ecuación

Encuentra las coordenadas de los vértices y focos de la hipérbola: ( 16y^2 - 9x^2 = 144 ).

Paso 1: Forma canónica.
Dividimos todo entre 144:

[ frac{16y^2}{144} - frac{9x^2}{144} = 1 ]

Esto simplifica a:

[ frac{y^2}{9} - frac{x^2}{16} = 1 ]

Paso 2: Análisis.
Como el término (y^2) es positivo, tenemos una Hipérbola Vertical.

Paso 3: Parámetros.

• ( a^2 = 9 Rightarrow mathbf{a = 3} )
• ( b^2 = 16 Rightarrow mathbf{b = 4} )
• ( c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} Rightarrow mathbf{c = 5} )

Paso 4: Elementos.
Al ser vertical, las coordenadas cambian en el eje Y:

• Vértices (V(0, pm a)): ( V(0, 3) ) y ( V(0, -3) )
• Focos (F(0, pm c)): ( F(0, 5) ) y ( F(0, -5) )

Ejemplo 3: Construir la ecuación

Halla la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, un vértice en ( V(0, 6) ) y un foco en ( F(0, 10) ).

Paso 1: Identificar orientación.
Como el vértice y el foco están en el eje Y (la coordenada x es 0), la hipérbola es Vertical.

Paso 2: Obtener (a), (b) y (c).

• Del vértice (V(0, 6)) sabemos que ( a = 6 ).
• Del foco (F(0, 10)) sabemos que ( c = 10 ).
• Necesitamos (b). Despejamos de Pitágoras: ( b^2 = c^2 - a^2 ).

[ b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 ] [ b = 8 ]

Paso 3: Sustituir en la fórmula.
Usamos la estructura vertical:

[ frac{y^2}{36} - frac{x^2}{64} = 1 ]

Ejemplo 4: Hallar la ecuación dada la excentricidad

Determina la ecuación de una hipérbola horizontal con centro en el origen, sabiendo que su eje transverso mide 12 unidades y su excentricidad es ( e = frac{5}{3} ).

Paso 1: Obtener (a) del eje transverso.
Sabemos que la longitud del eje transverso es (2a):
[ 2a = 12 Rightarrow a = 6 ]

Paso 2: Usar la excentricidad para hallar (c).
La fórmula de la excentricidad es ( e = frac{c}{a} ). Sustituimos los valores conocidos:

[ frac{5}{3} = frac{c}{6} ]

Despejamos (c):

[ c = frac{5 cdot 6}{3} = frac{30}{3} = 10 ]

Paso 3: Calcular (b) con Pitágoras.
Usamos (c^2 = a^2 + b^2):

[ b^2 = c^2 - a^2 ]

[ b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 ]

Paso 4: Armar la ecuación.
Al ser horizontal:

[ frac{x^2}{36} - frac{y^2}{64} = 1 ]

Ejemplo 5: Ecuación a partir de las asíntotas

Halla la ecuación de la hipérbola vertical que tiene sus focos en ( F(0, pm 10) ) y cuyas asíntotas son las rectas ( y = pm frac{4}{3}x ).

Paso 1: Analizar los datos.
Al estar los focos en el eje Y, confirmamos que es vertical y que ( c = 10 ).

Paso 2: Relacionar las asíntotas con (a) y (b).
Para una hipérbola vertical, la pendiente de la asíntota es ( m = frac{a}{b} ). Según el problema:

( frac{a}{b} = frac{4}{3} )

Paso 3: Hallar la constante (k).
Usamos ( c^2 = a^2 + b^2 ):

[ 10^2 = (4k)^2 + (3k)^2 ] [ 100 = 16k^2 + 9k^2 ] [ 100 = 25k^2 ] [ k^2 = frac{100}{25} = 4 Rightarrow k = 2 ]

Paso 4: Calcular valores reales de (a) y (b).

• ( a = 4(2) = 8 Rightarrow a^2 = 64 )
• ( b = 3(2) = 6 Rightarrow b^2 = 36 )

Paso 5: Ecuación Final.
Sustituimos en la forma vertical:

[ frac{y^2}{64} - frac{x^2}{36} = 1 ]

Ejemplo 6: Usando el lado recto

Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje focal sobre el eje X, un vértice en ( V(4,0) ) y longitud de su lado recto igual a 9.

Paso 1: Identificar datos.
El eje focal sobre X significa que es Horizontal.
Vértice en ( (4,0) implies a = 4 ).
Lado Recto ( LR = 9 ).

Paso 2: Despejar (b) de la fórmula del Lado Recto.
Sabemos que ( LR = frac{2b^2}{a} ):

[ 9 = frac{2b^2}{4} ]

Multiplicamos por 4:

[ 36 = 2b^2 ] [ b^2 = frac{36}{2} = 18 ]

Paso 3: Ecuación.
Tenemos ( a^2 = 4^2 = 16 ) y ( b^2 = 18 ). La ecuación es:

[ frac{x^2}{16} - frac{y^2}{18} = 1 ]

Ejemplo 7: Ecuación general a canónica (caso complejo)

Dada la ecuación general ( 4y^2 - x^2 + 64 = 0 ), transfórmala a su forma canónica y determina las coordenadas de los vértices.

Paso 1: Reordenar la ecuación.
Dejamos las variables a la izquierda y el número a la derecha:

[ 4y^2 - x^2 = -64 ]

Paso 2: Buscar el 1 positivo a la derecha.
Dividimos entre (-64):

[ frac{4y^2}{-64} - frac{x^2}{-64} = frac{-64}{-64} ]

Esto simplifica a:

[ -frac{y^2}{16} + frac{x^2}{64} = 1 ]

Reordenamos para que el positivo quede primero:

[ frac{x^2}{64} - frac{y^2}{16} = 1 ]

Paso 3: Interpretación.
¡Sorpresa! Aunque al inicio la (y) parecía positiva, al despejar el término independiente, la ecuación resultante tiene a (x^2) como positivo. Es una Hipérbola Horizontal.

• ( a^2 = 64 Rightarrow a = 8 )
• ( b^2 = 16 Rightarrow b = 4 )

Paso 4: Vértices.
Al ser horizontal, los vértices están en ( V(pm a, 0) ):

[ V_1(8, 0) text{ y } V_2(-8, 0) ]

Problema Propuesto 1

Dada la hipérbola ( 25x^2 - 144y^2 = 3600 ), encuentra las coordenadas de sus focos.

Problema Propuesto 2

Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen, eje transverso de longitud 8 y eje conjugado de longitud 6.