La ECUACIÓN de la CIRCUNFERENCIA ⭕ (Ordinaria, General, Paramétrica) | Geometría Analítica | Sergio Ruiz
- La ECUACIÓN de la CIRCUNFERENCIA ⭕ (Ordinaria, General, Paramétrica) | Geometría Analítica | Sergio Ruiz
- Tu Guía Definitiva para la Ecuación de la Circunferencia (Los Secretos que no Vienen en los Libros)
- El Reto de los Tres Puntos: Cómo Hallar la Ecuación de la Circunferencia Sin Centro ni Radio
- El Arte de la Tangencia: Ecuaciones que "Tocan" una Línea
- Más Allá del Papel: Aplicaciones Reales que Usas a Diario
- Tu Hoja de Ruta Hacia la Maestría
- La Geometría Perfecta Hecha Ecuación: La Circunferencia
¡Hola, hola! Soy Sergio Ruiz, y estoy aquí para invitarte a un viaje alucinante por el mundo de las matemáticas con MatematiCast, el podcast donde los números se vuelven tus mejores amigos.
¿Crees que las matemáticas son aburridas, complicadas o solo para genios despistados? ¡Permíteme demostrarte que estás a punto de cambiar de opinión! En MatematiCast, desmitificamos los teoremas, exploramos los conceptos más fascinantes y descubrimos cómo las matemáticas están presentes en cada rincón de nuestra vida, ¡desde la música que escuchas hasta la tecnología que usas!
¿Quieres dominar la ecuación de la circunferencia en todas sus formas? En este video del canal “Sergio Ruiz” [00:00], te llevamos a un viaje completo para que entiendas cómo describir algebraicamente esta figura geométrica perfecta.
¿Qué Aprenderás?
Definición y Componentes Clave: Repasamos la diferencia entre circunferencia (el borde) y círculo (la superficie) [01:08], y sus elementos esenciales:
Las 3 Ecuaciones de la Circunferencia:
Ecuación Ordinaria o Canónica: (x – h)² + (y – k)² = r² [02:57]. ¡La forma más útil! Te muestra directamente el centro (h, k) y el radio (r) [03:08].
Ecuación General: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 [04:23]. Te enseñamos cómo se deriva de la ordinaria y cómo puedes usar la técnica de completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio a partir de ella [06:00].
Ecuación Paramétrica: x = h + r cos(θ) y y = k + r sin(θ) [06:39]. ¡Ideal para describir movimiento circular, como el de una noria! [06:53].
¡Aplicaciones en el Mundo Real!
Para que veas su utilidad, resolvemos problemas prácticos y entretenidos:
Calcular el radio de una noria [02:14].
Encontrar el diámetro del agujero de una moneda noruega [07:21].
Determinar si una pelota de baloncesto cabe por el aro [07:59].
El video concluye reflexionando sobre la perfección matemática de la circunferencia frente a las formas circulares imperfectas de la naturaleza [09:27].
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¿Quieres dominar la ecuación de la circunferencia en todas sus formas? En este video del canal "Sergio Ruiz" [00:00], te llevamos a un viaje completo para que entiendas cómo describir algebraicamente esta figura geométrica perfecta.
¿Qué Aprenderás?
- Definición y Componentes Clave: Repasamos la diferencia entre circunferencia (el borde) y círculo (la superficie) [01:08], y sus elementos esenciales:
- Las 3 Ecuaciones de la Circunferencia:
- Ecuación Ordinaria o Canónica:
(x - h)² + (y - k)² = r²[02:57]. ¡La forma más útil! Te muestra directamente el centro (h, k) y el radio (r) [03:08]. - Ecuación General:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0[04:23]. Te enseñamos cómo se deriva de la ordinaria y cómo puedes usar la técnica de completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio a partir de ella [06:00]. - Ecuación Paramétrica:
x = h + r cos(θ)yy = k + r sin(θ)[06:39]. ¡Ideal para describir movimiento circular, como el de una noria! [06:53].
- Ecuación Ordinaria o Canónica:
¡Aplicaciones en el Mundo Real!
Para que veas su utilidad, resolvemos problemas prácticos y entretenidos:
- Calcular el radio de una noria [02:14].
- Encontrar el diámetro del agujero de una moneda noruega [07:21].
- Determinar si una pelota de baloncesto cabe por el aro [07:59].
El video concluye reflexionando sobre la perfección matemática de la circunferencia frente a las formas circulares imperfectas de la naturaleza [09:27].
Tu Guía Definitiva para la Ecuación de la Circunferencia (Los Secretos que no Vienen en los Libros)
Has llegado aquí porque ya conoces lo básico. Sabes que la ecuación de una circunferencia es como su ADN: una fórmula que contiene toda su información. El Profe Sergio ya te ha mostrado la ecuación ordinaria (x – h)² + (y – k)² = r², que es directa y honesta, mostrándote el centro (h, k) y el radio r sin rodeos.
También te ha presentado la ecuación general x² + y² + Dx + Ey + F = 0, que es más como un disfraz. Es la misma circunferencia, pero con su identidad oculta.
La mayoría de los estudiantes se detiene aquí. Aprenden a pasar de una forma a la otra y creen que ya lo dominan todo.
Pero, ¿qué pasa cuando el problema no te da el centro ni el radio? ¿Qué haces cuando solo tienes tres puntos perdidos en el plano? ¿O cuando te dicen que la circunferencia es "tangente" a una recta?
Ahí es donde los métodos de libro de texto se quedan cortos. Y ahí es donde los estudiantes de verdad se separan de los que simplemente memorizan fórmulas.
Hoy, tú y yo vamos a cruzar esa línea. Te voy a enseñar a pensar como un matemático, a deducir la ecuación incluso con la información más enrevesada. Cuando termines de leer esto, no habrá problema de circunferencias que se te resista.
El Reto de los Tres Puntos: Cómo Hallar la Ecuación de la Circunferencia Sin Centro ni Radio
Este es el problema clásico que causa dolores de cabeza. Te dan tres puntos, por ejemplo, A(2, 6), B(5, 3) y C(-1, 3), y te piden encontrar la circunferencia que pasa por todos ellos.
El error común: Intentar usar la forma ordinaria (x – h)² + (y – k)² = r². Esto te lleva a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (h, k, r) que es terriblemente difícil de resolver por la presencia de los cuadrados.
La estrategia del experto: Usar la ecuación general como punto de partida. Es nuestra arma secreta.
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Sabemos que los tres puntos pertenecen a la circunferencia, por lo que deben satisfacer su ecuación. Esto nos permite hacer algo brillante: sustituir las coordenadas de cada punto en la ecuación general para crear un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (D, E, F). ¡Un sistema lineal es mucho más fácil de resolver!
Longtail keyword atacada: ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos paso a paso
Paso 1: Sustituir cada punto en la ecuación general.
- Para el punto A(2, 6):
(2)² + (6)² + D(2) + E(6) + F = 04 + 36 + 2D + 6E + F = 02D + 6E + F = -40(Ecuación 1) - Para el punto B(5, 3):
(5)² + (3)² + D(5) + E(3) + F = 025 + 9 + 5D + 3E + F = 05D + 3E + F = -34(Ecuación 2) - Para el punto C(-1, 3):
(-1)² + (3)² + D(-1) + E(3) + F = 01 + 9 - D + 3E + F = 0-D + 3E + F = -10(Ecuación 3)
Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones lineales.
Ahora tenemos un sistema 3x3 que sí sabemos manejar:
2D + 6E + F = -405D + 3E + F = -34-D + 3E + F = -10
Puedes usar cualquier método: sustitución, igualación o, mi favorito por su orden, el método de eliminación (o reducción).
Restemos la Ecuación 3 de la Ecuación 2. Es una buena jugada porque los términos 3E y F se cancelarán de inmediato. (5D + 3E + F) - (-D + 3E + F) = -34 - (-10) 6D = -24 D = -4
¡Fantástico! Ya tenemos el primer valor. Ahora sustituimos D = -4 en las ecuaciones 1 y 3 para obtener un sistema 2x2 más simple.
- En la Ecuación 1:
2(-4) + 6E + F = -40->-8 + 6E + F = -40->6E + F = -32(Nueva Ecuación A) - En la Ecuación 3:
-(-4) + 3E + F = -10->4 + 3E + F = -10->3E + F = -14(Nueva Ecuación B)
Ahora restamos la Ecuación B de la A: (6E + F) - (3E + F) = -32 - (-14) 3E = -18 E = -6
Finalmente, sustituimos E = -6 en la Ecuación B: 3(-6) + F = -14 -18 + F = -14 F = 4
Paso 3: Escribir la ecuación y celebrar.
Hemos encontrado que D = -4, E = -6 y F = 4. Ahora solo tenemos que poner estos valores de vuelta en la forma general:
x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0
Esta es la ecuación general de la circunferencia que pasa por los tres puntos. Si quisieras saber el centro y el radio, solo tendrías que pasarla a la forma ordinaria completando el cuadrado, tal como te enseñó el Profe Sergio. Pero el trabajo difícil, el de detective, ya está hecho.
El Arte de la Tangencia: Ecuaciones que "Tocan" una Línea
Otro escenario que paraliza a muchos: te dicen que la circunferencia es tangente a una recta. ¿Qué significa eso? Simplemente que la toca en un solo punto. Esta pequeña palabra es una pista gigantesca.
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La distancia desde el centro de la circunferencia (h, k) hasta la recta tangente es exactamente igual al radio r.
Longtail keyword atacada: ecuación de la circunferencia tangente a un eje
Veamos los casos más comunes:
Caso 1: Tangente al eje Y
Imagina que te piden la ecuación de una circunferencia con centro en (5, 3) y que es tangente al eje Y.
- Visualiza: Dibuja un punto en (5, 3). Ahora imagina una circunferencia que crece desde ese centro hasta que apenas "besa" el eje Y.
- Deduce: La distancia desde el punto (5, 3) hasta el eje Y es la distancia horizontal. ¿Cuánto te mueves en el eje X para llegar de 0 a 5? Exacto, 5 unidades.
- Concluye: Esa distancia es el radio. Por lo tanto,
r = 5. La coordenadahdel centro te da el radio. - Escribe la ecuación:
(x - 5)² + (y - 3)² = 5²->(x - 5)² + (y - 3)² = 25.
Caso 2: Tangente al eje X
Misma idea. Centro en (5, 3), pero ahora es tangente al eje X.
- Visualiza: El círculo crece hacia abajo hasta que toca el eje X.
- Deduce: La distancia desde (5, 3) hasta el eje X es la distancia vertical, que es simplemente el valor de la coordenada
ydel centro. - Concluye: El radio es
r = 3. - Escribe la ecuación:
(x - 5)² + (y - 3)² = 3²->(x - 5)² + (y - 3)² = 9.
Caso 3: Tangente a una recta cualquiera (El Nivel Avanzado)
Aquí es donde demuestras tu maestría. Te dan el centro (h, k) y te dicen que es tangente a una recta, por ejemplo, 3x + 4y - 12 = 0.
Recuerda la clave: la distancia del centro a la recta es el radio.
Necesitamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta. Para una recta Ax + By + C = 0 y un punto (x₁, y₁), la distancia d es:
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
En nuestro caso, el punto es el centro (h, k) y la distancia es el radio r.
Supongamos que el centro es (2, 1) y la recta es 3x + 4y - 12 = 0.
r = |3(2) + 4(1) - 12| / √(3² + 4²) r = |6 + 4 - 12| / √(9 + 16) r = |-2| / √25 r = 2 / 5
¡Lo tienes! El radio es r = 2/5. Ahora solo escribes la ecuación:
(x - 2)² + (y - 1)² = (2/5)² (x - 2)² + (y - 1)² = 4/25
Más Allá del Papel: Aplicaciones Reales que Usas a Diario
¿Sigues pensando que esto son solo ejercicios para aprobar un examen? Piensa de nuevo. La ecuación de la circunferencia es fundamental para la tecnología que te rodea.
- GPS y Trilateración 🛰️: Tu teléfono no sabe dónde estás. Lo que sí sabe es la distancia que lo separa de (al menos) tres satélites diferentes. Cada satélite se convierte en el centro de una esfera (una circunferencia en 3D), y la distancia es el radio. El punto exacto donde esas tres esferas se intersectan es tu ubicación. La próxima vez que uses un mapa, recuerda que estás en la intersección de tres ecuaciones de la circunferencia gigantes.
- Diseño de Videojuegos 🎮: Cuando tu personaje en un videojuego dispara o lanza un hechizo con un "área de efecto", el juego define una circunferencia alrededor del punto de impacto. ¿Cómo sabe si un enemigo está dentro del área para recibir daño? Comprueba si las coordenadas
(x, y)del enemigo satisfacen la inecuación(x – h)² + (y – k)² < r². Si la condición es verdadera, ¡daño registrado! - Ingeniería y Diseño Industrial ⚙️: Desde los engranajes de un reloj hasta los rodamientos de un motor o el corte transversal de un cable, la forma circular es esencial para el movimiento suave y la distribución uniforme de la fuerza. Los ingenieros usan la ecuación para modelar estas piezas con precisión milimétrica en software de diseño (CAD).
- Sismología 🌎: Cuando ocurre un terremoto, las estaciones sismográficas detectan la onda, pero no su origen. Solo saben a qué distancia ocurrió. Dibujando una circunferencia alrededor de tres estaciones diferentes, los sismólogos pueden encontrar el epicentro en el punto donde las tres circunferencias se cruzan.
Tu Hoja de Ruta Hacia la Maestría
Hoy has ido mucho más lejos que la mayoría. Has aprendido a:
- Resolver el problema de los tres puntos usando la ecuación general como tu aliada.
- Dominar los problemas de tangencia entendiendo que el radio es simplemente la distancia del centro a la línea.
- Ver la circunferencia en el mundo real, desde tu teléfono hasta los videojuegos.
El conocimiento sin práctica se desvanece. Así que ahora te toca a ti. Busca problemas, desafíate a ti mismo. Toma tres puntos al azar y encuentra su circunferencia. Inventa un centro y una recta tangente y calcula la ecuación.
La próxima vez que te enfrentes a un problema, no verás solo números. Verás un rompecabezas, y ahora tienes todas las piezas para resolverlo.
La Geometría Perfecta Hecha Ecuación: La Circunferencia
La circunferencia es posiblemente una de las formas más perfectas y fundamentales de la geometría. Desde las ondas que se expanden en el agua hasta las órbitas de los planetas (en una primera aproximación), su presencia es universal. Pero, ¿cómo podemos capturar esta perfección geométrica con el lenguaje del álgebra? La respuesta está en la ecuación de la circunferencia.
Esta ecuación es la traducción algebraica de una definición geométrica muy simple: "el conjunto de todos los puntos que están a una misma distancia (el radio) de un punto fijo (el centro)". Al expresar esta idea con las herramientas del plano cartesiano y el Teorema de Pitágoras, obtenemos una fórmula poderosa. La forma ordinaria o canónica es la más pura, ya que nos muestra directamente el "ADN" de la circunferencia: las coordenadas de su centro y la longitud de su radio. La forma general es como se presenta a menudo en problemas más complejos, y saber cómo pasar de una a otra (usando técnicas como completar el cuadrado) es una habilidad esencial en la geometría analítica. Finalmente, la forma paramétrica nos abre la puerta a describir el movimiento circular, un pilar en física e ingeniería.
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