COMBINATORIA 🧠 | Principios de Multiplicación y Adición (Permutaciones y Variaciones)

¿Alguna vez te has preguntado de cuántas formas diferentes puedes combinar tu ropa o crear una contraseña? ¡Eso es la combinatoria, el arte de contar posibilidades! En este video del canal "Sergio Ruiz" [00:04], te enseñamos los dos principios fundamentales que son la base de todo.

Los 2 Pilares de la Combinatoria

• Principio de la Multiplicación (La regla del "Y"):
  • Concepto: Se usa para eventos que ocurren en secuencia, uno después del otro. El número total de formas es el producto de las formas de cada paso [01:21].
  • Ejemplos:
    • ¿Cuántos atuendos puedes formar con 3 pantalones Y 3 camisas? ¡3 x 3 = 9! [01:54].
    • ¿Cuántos números de 3 cifras distintas puedes crear con los dígitos del 2 al 8? ¡7 x 6 x 5 = 210! [02:07].
• Principio de la Adición (La regla del "O"):
  • Concepto: Se usa para opciones que son mutuamente excluyentes (o eliges una, o eliges la otra). El número total de formas es la suma de las formas de cada opción [03:42].
  • Ejemplos:
    • Si puedes viajar de A a C por una ruta (24 maneras) O por otra ruta distinta (6 maneras), tienes 24 + 6 = 30 opciones en total [04:11].

Aplicación a Variaciones y Permutaciones

Te mostramos cómo estos principios son la base para entender las variaciones (donde el orden importa). Por ejemplo, calculamos cuántas contraseñas de 4 letras distintas se pueden formar con las letras de la palabra "MEMORIA" [06:29].

Dominar estos dos principios te dará las herramientas para resolver problemas de conteo mucho más complejos, incluyendo permutaciones con repetición y combinaciones, donde el orden no importa [07:27].

El Arte de Contar: Los Principios Fundamentales de la Combinatoria

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se encarga de una tarea aparentemente simple: contar. Pero no se trata de contar uno por uno, sino de desarrollar métodos y principios para calcular el número de posibles agrupaciones o arreglos que se pueden formar a partir de un conjunto de elementos. Es el arte de responder a preguntas como "¿de cuántas maneras diferentes se puede...?"

En el corazón de toda la combinatoria se encuentran dos principios increíblemente simples pero poderosos:

1. El Principio de la Multiplicación: Se usa cuando un evento ocurre en una secuencia de pasos. Si el primer paso se puede hacer de M maneras y el segundo de N maneras, entonces la secuencia completa se puede hacer de M x N maneras. La palabra clave es "Y". Para formar un atuendo, eliges una camisa Y un pantalón.
2. El Principio de la Adición: Se usa cuando tienes opciones mutuamente excluyentes. Si puedes hacer algo de K maneras O de N maneras, y no puedes hacer ambas al mismo tiempo, el número total de opciones es K + N. La palabra clave es "O". Para viajar, tomas la ruta A O la ruta B.

Dominar estos dos principios es la base para entender conceptos más avanzados como las permutaciones y las combinaciones, y es una habilidad fundamental no solo en matemáticas, sino también en la informática, la estadística y la teoría de la probabilidad.

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El Diagrama de Flujo Definitivo para Resolver Problemas de Combinatoria

Ya has visto las fórmulas con el "Profe Sergio". Tienes a tu disposición las permutaciones (\(P_n\)), las combinaciones (\(C_n^k\)) y todas sus variantes. Tienes un garaje lleno de herramientas de alta gama.

El problema es que te dan un motor (un problema de combinatoria) y no tienes idea de si necesitas una llave inglesa o un destornillador. El objetivo de este post es convertirte en un mecánico experto que, con solo dos preguntas, sabe exactamente qué herramienta tomar.

Olvida la memorización de nombres por un momento. Todo el universo de la combinatoria se reduce a responder estas dos preguntas en orden:

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1. ¿Importa el orden en que elijo los elementos?
2. ¿Se pueden repetir los elementos?

Vamos a construir nuestro diagrama de flujo a partir de aquí.

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Pregunta Clave #1: ¿Importa el Orden? El Gran Filtro

Esta es la primera y más importante decisión que debes tomar. Define la naturaleza fundamental de tu problema.

Diferencia clave entre permutación y combinación

• Si el orden SÍ importa, estás en el mundo de las PERMUTACIONES (también llamadas Variaciones).
  • Ejemplos clave: Crear una contraseña, asignar puestos en una carrera (1º, 2º, 3º), formar una palabra con letras, elegir un presidente y un vicepresidente.
  • La Lógica: "ABC" es un resultado diferente de "BCA". Cambiar el orden de los mismos elementos crea un resultado nuevo.
• Si el orden NO importa, estás en el mundo de las COMBINACIONES.
  • Ejemplos clave: Elegir un comité de 3 personas, seleccionar 5 cartas de una baraja, escoger los ingredientes para una pizza, repartir boletos de lotería.
  • La Lógica: Elegir a Ana, Beto y Carlos para un comité es EXACTAMENTE el mismo resultado que elegir a Carlos, Ana y Beto. El grupo final es el mismo, sin importar cómo los nombraste.

Ahora que has dividido el universo en dos, vamos a la segunda pregunta para afinar nuestra elección.

(Imagina este diagrama mientras lees)

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Rama A: El Orden SÍ Importa (Mundo de las Permutaciones/Variaciones)

Has decidido que el orden es crucial. Ahora, la siguiente pregunta es...

Pregunta #2 (Rama A): ¿Se pueden repetir los elementos?

A1. Sí, se pueden repetir los elementos.

• Diagnóstico: Estás ante una Permutación con Repetición (o Variación con Repetición). Esta es la más sencilla de todas.
• Situación Típica: Tienes \(n\) opciones disponibles y vas a hacer \(k\) elecciones, y puedes volver a elegir una opción que ya usaste.
• La Fórmula: \(PR_n^k = n^k\)
• Ejemplo Práctico: ¿Cuántas contraseñas de 4 dígitos se pueden formar con los números 0-9?
  1. ¿Importa el orden? Sí, "1234" es diferente de "4321". -> Es una Permutación/Variación.
  2. ¿Se pueden repetir? Sí, una contraseña puede ser "1122". -> Es con Repetición.
  3. Diagnóstico Final: Permutación con Repetición.
  4. Cálculo: Tienes \(n=10\) opciones (los 10 dígitos) y vas a hacer \(k=4\) elecciones. El resultado es \(10^4 = 10,000\) contraseñas posibles.

A2. No, no se pueden repetir los elementos.

• Diagnóstico: Aquí hay una subdivisión. ¿Usas TODOS los elementos disponibles o solo algunos?
  • Si usas TODOS los elementos (\(n=k\)), es una Permutación simple.
    • Situación Típica: Reordenar todos los libros de un estante, encontrar todos los anagramas de una palabra sin letras repetidas.
    • La Fórmula: \(P_n = n!\) (n factorial)
    • Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas?
      1. Orden: Sí importa. -> Permutación.
      2. Repetición: No, una persona no puede sentarse en dos sillas.
      3. ¿Todos los elementos? Sí, 5 personas para 5 sillas. -> Permutación simple.
      4. Cálculo: \(P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) formas.
  • Si usas SOLO ALGUNOS elementos (\(k < n\)), es una Permutación sin Repetición (o Variación sin Repetición).
    • Situación Típica: Asignar los puestos de Oro, Plata y Bronce en una carrera de 10 personas.
    • La Fórmula: \(P_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}\)
    • Ejemplo: En una carrera de 10 caballos, ¿de cuántas formas puede terminar el podio (1º, 2º, 3º)?
      1. Orden: Sí, importa muchísimo. -> Permutación.
      2. Repetición: No, un caballo no puede llegar 1º y 2º a la vez.
      3. ¿Todos los elementos? No, solo elegimos 3 de los 10 caballos. -> Permutación sin Repetición.
      4. Cálculo: \(P_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\) podios posibles.

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Rama B: El Orden NO Importa (Mundo de las Combinaciones)

Has decidido que solo te importa el grupo final, no cómo lo elegiste. Ahora, la segunda pregunta...

Pregunta #2 (Rama B): ¿Se pueden repetir los elementos?

Ejemplos de combinaciones con y sin repetición

B1. No, no se pueden repetir los elementos.

• Diagnóstico: Esta es la famosa Combinación simple. La más común en los problemas de exámenes.
• Situación Típica: Formar un equipo, repartir cartas, elegir ingredientes.
• La Fórmula: \(C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
• Ejemplo Práctico: En una clase de 20 estudiantes, ¿cuántos comités de 3 personas se pueden formar?
  1. ¿Importa el orden? No, el comité "Ana, Beto, Carlos" es el mismo que "Carlos, Beto, Ana". -> Es una Combinación.
  2. ¿Se pueden repetir? No, no puedes elegir a la misma persona dos veces para el mismo comité. -> Sin Repetición.
  3. Diagnóstico Final: Combinación simple.
  4. Cálculo: \(C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140\) comités posibles.

B2. Sí, se pueden repetir los elementos.

• Diagnóstico: Esta es la Combinación con Repetición. A menudo es la más confusa, pero la analogía correcta la hace fácil.
• Situación Típica: Elegir sabores de helado para un cono de 3 bolas de una heladería con 5 sabores (puedes pedir tres bolas del mismo sabor), comprar 6 donas de una tienda que tiene 4 tipos.
• La Fórmula (también conocida como "estrellas y barras"): \(\frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!}\).
• Ejemplo Práctico: Vas a una tienda de jugos que tiene 5 tipos de frutas (\(n=5\)). Quieres pedir un jugo mezclado con 3 porciones de fruta (\(k=3\)). Puedes pedir "plátano, plátano, fresa". ¿Cuántos jugos diferentes puedes crear?
  1. ¿Importa el orden? No, un jugo de "plátano, fresa, manzana" es el mismo que "manzana, fresa, plátano". -> Es una Combinación.
  2. ¿Se pueden repetir? Sí, puedes pedir dos o tres porciones de la misma fruta. -> Con Repetición.
  3. Diagnóstico Final: Combinación con Repetición.
  4. Cálculo:

\(n=5, k=3\)\( CR_5^3 = \frac{(5 + 3 - 1)!}{3!(5 - 1)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35
\)

jugos diferentes.

Resumen del Diagrama de Flujo Mental

La próxima vez que veas un problema de conteo, respira hondo y sigue estos pasos:

1. Lee el problema y pregúntate: "¿Si cambio el orden de mi selección, he creado un resultado fundamentalmente nuevo?"
   • SÍ: Estás en la Rama A (Permutaciones). Ve al paso 2A.
   • NO: Estás en la Rama B (Combinaciones). Ve al paso 2B.
2. Pregúntate: "¿El problema me permite volver a usar un elemento que ya elegí?"
   • (2A - Permutaciones):
     • SÍ (con repetición): Usa \(n^k\).
     • NO (sin repetición): ¿Usas todos los elementos (\(n!\)) o solo algunos (\(\frac{n!}{(n-k)!}\))?
   • (2B - Combinaciones):
     • SÍ (con repetición): Usa la fórmula de "estrellas y barras" \(\frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!}\).
     • NO (sin repetición): Usa la fórmula de combinación estándar \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Has pasado de memorizar fórmulas a tener un sistema de diagnóstico. Ahora puedes enfrentarte a cualquier problema de combinatoria, no con miedo, sino con la confianza de un experto que sabe exactamente qué preguntas hacer.

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Tipo de selección	¿Importa el orden?	¿Se permite repetir?	Expresión matemática en forma regular	Nombre común
Permutaciones sin repetición	Sí	No	\(P_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)	Permutaciones
Permutaciones con repetición	Sí	Sí	\(n^k\)	Variaciones con repetición
Combinaciones sin repetición	No	No	\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)	Combinaciones
Combinaciones con repetición (multiconjuntos)	No	Sí	\(CR_n^k = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\)	Combinaciones con repetición

¿Cómo recordar cuándo usar cuál?

• Si el orden importa y no hay repeticiones, usa permutaciones sin repetición.
• Si el orden importa y sí hay repeticiones, usa \(n^k\).
• Si el orden no importa y no hay repeticiones, usa combinaciones normales.
• Si el orden no importa y sí hay repeticiones, usa combinaciones con repetición.

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