CONTINUIDAD de una Función 📈 | Tipos de Discontinuidad (Evitable, Salto, Infinita)

¿Sabes qué significa realmente que una función sea continua? En este video del canal "Sergio Ruiz", te llevamos más allá de la idea de "no levantar el lápiz del papel" [00:09] para que domines la definición formal y entiendas por qué es tan crucial en el cálculo.

Las 3 Reglas de Oro de la Continuidad

Para que una función f(x) sea continua en un punto a, debe cumplir estas tres condiciones [00:29]:

1. f(a) debe existir (no puede haber un agujero indefinido) [00:39].
2. El límite de f(x) cuando x tiende a a debe existir (los límites laterales por la izquierda y la derecha deben ser iguales) [00:46].
3. El límite y el valor de la función deben ser el mismo (lim f(x) = f(a)) [01:00].

Tipos de DISCONTINUIDAD

Cuando una de estas reglas falla, tenemos una discontinuidad. Te enseñamos a identificar los tipos:

• Discontinuidad Evitable (o Removible): Hay un "agujero" en la gráfica que se podría "parchar" redefiniendo un solo punto [01:49].
• Discontinuidad Inevitable (o No Removible):
  • De Salto Finito: La gráfica "salta" de un valor a otro. Los límites laterales existen pero son diferentes [02:39].
  • De Salto Infinito: La gráfica se "dispara" hacia el infinito, generalmente en una asíntota vertical [03:19].
  • Esencial: El tipo más complejo, donde al menos un límite lateral ni siquiera existe [03:49].

¿Por Qué es TAN Importante la Continuidad?

• Permite modelar fenómenos del mundo real de forma predecible [05:09].
• Es la base del cálculo: una función debe ser continua para poder ser derivable [05:49].
• Es un requisito para teoremas poderosos como el Teorema del Valor Intermedio [07:09].

Además, repasamos qué tipos de funciones comunes (polinómicas, racionales, trigonométricas) son continuas y cómo analizar la continuidad en funciones a trozos [08:59, 10:09].

El Taller de Continuidad: Cómo Reparar una Función "Rota"

Ya has pasado por la pista de carreras del "Profe Sergio". Sabes que para que una función sea continua en un punto, el carro no debe desaparecer (existe el punto), no debe haber un salto (existe el límite) y ambas cosas deben ocurrir en el mismo lugar (el punto y el límite son iguales).

Pero, ¿qué pasa cuando el carro de carreras se topa con un problema? ¿Qué tipo de "baches" existen en la pista y, más importante, se pueden reparar? Este es el taller donde aprendemos a clasificar y, a veces, a arreglar las discontinuidades.

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El Diagnóstico: Clasificando las Discontinuidades

No todos los problemas en la pista son iguales. En matemáticas, clasificamos las discontinuidades en dos grandes familias: evitables y no evitables (o esenciales).

Tipos de discontinuidades y cómo identificarlas

1. Discontinuidad Evitable (El Bache Pequeño)

Esta es la discontinuidad más "amigable". Ocurre cuando el límite de la función en un punto existe, pero no es igual al valor de la función en ese punto (o el valor ni siquiera existe).

Piensa en un puente con un solo ladrillo suelto. El puente está casi perfecto, puedes ver a dónde deberías pisar, pero justo en ese punto hay un agujero.

¿Cómo se ve en la fórmula? Ocurre cuando la segunda condición de continuidad (el límite existe) se cumple, pero la primera o la tercera fallan.

Ejemplo Práctico: Considera la función: \(f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}\)

Si intentas evaluar la función en \(x=3\), obtienes \(\frac{0}{0}\). El punto no existe en el dominio; hay un "agujero".

¿Cómo la reparamos? Esta es la parte clave. Se llama "evitable" porque podemos "rellenar el bache". Simplificamos la función usando álgebra para ver a dónde tiende el límite.

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\(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6\)

El límite existe y es 6. El problema es que \(f(3)\) no está definido. Para "reparar" la función, la redefinimos como una función a trozos:

\( f(x) =
\begin{cases}
\frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x \neq 3 \
6 & \text{si } x = 3
\end{cases}
\)

Acabamos de "parchar" el agujero. Hemos hecho la función continua.

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2. Discontinuidad No Evitable o Esencial (El Puente Roto)

Estas son las discontinuidades más serias, donde no hay una reparación sencilla. Ocurren cuando el límite de la función en el punto simplemente no existe. Esto pasa, principalmente, de dos maneras.

Diferencia entre discontinuidad de salto e infinita

A. Discontinuidad de Salto Finito

Aquí, el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen, pero tienen valores diferentes.

Piensa en un puente que se ha partido y un lado ha quedado más alto que el otro. Puedes caminar hasta el borde por cada lado, pero llegas a dos alturas distintas. Hay un "salto" imposible de cruzar.

¿Cómo se ve en la fórmula? Es típico de las funciones a trozos.

Ejemplo Práctico:

\( f(x) =
\begin{cases}
x + 2 & \text{si } x < 1 \
x - 1 & \text{si } x \geq 1
\end{cases}
\)

Analicemos en \(x=1\):

• Límite por la izquierda (usando la primera regla): \(\lim_{x \to 1^-} (x+2) = 1+2 = 3\)
• Límite por la derecha (usando la segunda regla): \(\lim_{x \to 1^+} (x-1) = 1-1 = 0\)

Como \(3 \neq 0\), los límites laterales son diferentes. El límite general no existe. Es una discontinuidad de salto y no se puede reparar.

B. Discontinuidad Infinita (El Abismo)

Esta ocurre cuando al menos uno de los límites laterales tiende a infinito positivo o negativo.

Piensa que al acercarte a un punto del puente, este se convierte en una rampa que se dispara hacia el cielo o cae a un abismo. No hay un punto de llegada; el camino se va al infinito. Esto es característico de las asíntotas verticales.

Ejemplo Práctico: Considera la función: \(f(x) = \frac{1}{x-2}\)

Analicemos en \(x=2\):

• Límite por la derecha: Si te acercas a 2 con valores un poco más grandes (ej. 2.1, 2.01), el denominador es un número positivo muy pequeño. El resultado es \(+\infty\).
• Límite por la izquierda: Si te acercas a 2 con valores un poco más pequeños (ej. 1.9, 1.99), el denominador es un número negativo muy pequeño. El resultado es \(-\infty\).

Como los límites se van al infinito, el límite no existe. Es una discontinuidad infinita e irreparable.

Tu Misión como Mecánico de Funciones

Cuando te enfrentes a un problema de continuidad, no te limites a seguir las tres reglas. Conviértete en un diagnosticador:

1. Evalúa el Punto: ¿Existe \(f(c)\)?
2. Calcula los Límites Laterales: ¿Son iguales? Si sí, el límite existe. Si no, es un salto.
3. Compara: Si el límite existe pero es diferente a \(f(c)\) (o \(f(c)\) no existe), es un bache reparable (evitable). Si los límites se van al infinito, es un abismo (infinita).

Entender por qué una función es discontinua y de qué tipo es el problema, te da un dominio del tema mucho más profundo que simplemente aplicar una receta.

El Hilo Ininterrumpido: La Continuidad de una Función

En el mundo de las funciones, la continuidad es una de las propiedades más importantes y intuitivas. La idea básica es simple: una función es continua si puedes dibujar su gráfica de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. Esto implica que no hay saltos, agujeros ni interrupciones abruptas en la curva.

Pero para el rigor de las matemáticas, especialmente para el cálculo, necesitamos una definición más precisa. La continuidad en un punto se basa en tres condiciones que deben cumplirse:

1. La función debe existir en ese punto.
2. El límite de la función debe existir en ese punto (es decir, la gráfica se acerca al mismo valor por la izquierda y por la derecha).
3. El valor del límite y el valor de la función en ese punto deben ser idénticos.

Esta propiedad no es solo una formalidad. Es un requisito fundamental para muchos de los teoremas más poderosos del cálculo. Por ejemplo, para que una función sea derivable (es decir, para que podamos calcular su pendiente en un punto), primero debe ser continua. La continuidad nos asegura que los procesos que modelamos son predecibles y no tienen cambios inexplicables, una característica esencial para describir la mayoría de los fenómenos físicos del mundo real.

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