Esa palabra de nueve letras: Funciones. A veces viene acompañada de su prima intimidante: Ecuaciones. Para muchos, este tema es el monstruo final del área de matemáticas en el examen de admisión. Se siente abstracto, complicado y desconectado de la realidad. ¿Para qué sirve saber qué es \(f(x)\)? ¿Por qué tienes que encontrar el valor de \(x\) como si fuera un tesoro pirata?
Detente. Respira.
Estás aquí porque sabes que este tema es crucial. Y yo estoy aquí para decirte que no solo es más fácil de lo que crees, sino que es una de las herramientas matemáticas más poderosas y lógicas que usas todos los días, incluso sin darte cuenta.
He formado a los mejores en SEO y copywriting, enseñándoles a entender la intención detrás de una búsqueda o de una palabra. Hoy, te enseñaré a ti a descubrir la intención detrás de cada problema de funciones y ecuaciones. No se trata de memorizar pasos como un robot. Se trata de entender la historia que el problema te está contando para que puedas escribir el final correcto.
Esta guía no es un formulario. Es una sesión de estrategia. Vamos a desmantelar el miedo, a conectar cada concepto con la vida real y a darte las claves para ver las trampas que el examinador pone para el resto. Al final de este post, no solo resolverás los ejercicios, sino que entenderás el "porqué" y caminarás hacia tu examen con la certeza de que este tema te dará puntos, en lugar de quitártelos.
La Diferencia Clave: ¿Cuándo es Ecuación y Cuándo es Función?
Antes de resolver nada, aclaremos el punto que más confunde a los estudiantes. ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una función?
- Una Ecuación es una pregunta de igualdad. Imagina que tienes una balanza. La ecuación \(2x + 5 = 15\) simplemente pregunta: "¿Qué valor de \(x\) hace que ambos lados de la balanza estén equilibrados?". Buscas una o varias soluciones específicas. Es como un misterio con un culpable concreto.
- Una Función es una máquina de relaciones o procesos. Imagina una máquina expendedora. La función \(f(x) = 2x + 5\) es la regla que sigue la máquina. Si metes un valor \(x\) (tu dinero), la máquina te devuelve un valor \(y\) o \(f(x)\) (tu refresco). No busca una única respuesta, describe una relación continua entre una entrada (\(x\)) y una salida (\(y\)).
La Clave del Experto: Una ecuación te da un acertijo con una respuesta. Una función te da la receta para una máquina que puede darte infinitas respuestas dependiendo de lo que le metas.
Bloque 1: Ecuaciones de Primer Grado (El Fundamento de Todo)
Estas son las ecuaciones más básicas, pero dominarlas es esencial. Son el pilar sobre el que se construye todo lo demás.
Ejercicio 1: Ecuación Lineal con Paréntesis
El Problema: Encuentra el valor de \(x\) en la siguiente ecuación: \(3(x - 2) + 5 = 2(x + 1) + 4\)
- a) \(x=7\)
- b) \(x=5\)
- c) \(x=https://www.google.com/search?q=-3\)
- d) \(x=3\)
Desarmando el Miedo:
- ¿Qué te están preguntando en realidad?: Que encuentres el número que, al ponerlo en lugar de la \(x\), hace que la operación de la izquierda dé exactamente el mismo resultado que la de la derecha.
- La Trampa del Examinador: Errores en la propiedad distributiva. Es muy común multiplicar el \(3\) solo por la \(x\) y olvidarse del \(-2\), o equivocarse con los signos.
- Conexión con la Vida Real: Tienes dos planes de telefonía. El Plan A te cobra \($5\) fijos y \($3\) por cada hora extra que hables, pero te descuentan \($6\) (\(3(x-2)\)). El Plan B te cobra \($4\) fijos y \($2\) por cada hora extra, pero te cobran \($2\) más (\(2(x+1)\)). La ecuación te permite saber a cuántas horas extras (\(x\)) los dos planes te costarían exactamente lo mismo.
Resolución Paso a Paso:
- Aplica la Propiedad Distributiva: Multiplica los números fuera de los paréntesis por cada término dentro.
Simplifica cada lado de la ecuación:
- Lado izquierdo: \(3x - 1\)
- Lado derecho: \(2x + 6\) La ecuación ahora es: \(3x - 1 = 2x + 6\)
Agrupa los términos con \(x\) de un lado y los números del otro: Para eliminar el \(2x\) de la derecha, resta \(2x\) en ambos lados.
\(3x - 2x - 1 = 2x - 2x + 6\)\(x - 1 = 6\)Despeja \(x\): Para eliminar el \(-1\) de la izquierda, suma \(1\) en ambos lados.
\(x - 1 + 1 = 6 + 1\)\(x = 7\)La Clave del Experto: El objetivo es siempre aislar la \(x\). Piensa en ello como un juego. Cada paso que das debe acercarte a dejar la \(x\) sola en un lado del signo igual. La respuesta correcta es a) \(x=7\).
Ejercicio 2: Ecuación con Fracciones
El Problema: Resuelve para \(y\): \(\frac{y}{3} + \frac{y}{4} = 14\)
- a) \(y=12\)
- b) \(y=24\)
- c) \(y=7\)
- d) \(y=48\)
Desarmando el Miedo:
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- ¿Qué te están preguntando en realidad?: ¿Qué número, al dividirlo entre 3 y sumarle el resultado de dividirlo entre 4, te da 14?
- La Trampa del Examinador: Las fracciones. Muchos estudiantes entran en pánico al ver denominadores. La trampa es intentar trabajar con las fracciones todo el tiempo, lo cual es lento y propenso a errores.
- Conexión con la Vida Real: Recibes tu paga. Gastas un tercio (\(\frac{y}{3}\)) en transporte y un cuarto (\(\frac{y}{4}\)) en comida. Si en total gastaste \($14\) en esas dos cosas, ¿cuál era tu paga total (\(y\))?
Resolución Paso a Paso:
- Elimina los denominadores: El truco para "matar" las fracciones es multiplicar toda la ecuación por el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores. El MCM de \(3\) y \(4\) es \(12\).
- Multiplica cada término por el MCM:
Simplifica:
\(\frac{12y}{3} = 4y\)\(\frac{12y}{4} = 3y\)\(12 \times 14 = 168\)La ecuación, ya sin fracciones, es: \(4y + 3y = 168\)
Resuelve la ecuación lineal simple:
\(7y = 168\)\(y = \frac{168}{7}\)\(y = 24\)La Clave del Experto: No luches contra las fracciones. Elimínalas. Encontrar el MCM y multiplicar toda la ecuación por él es el movimiento más inteligente y rápido. Transforma un problema que parece difícil en uno fácil. La respuesta correcta es b) \(y=24\).
Bloque 2: Sistemas de Ecuaciones (El Punto de Encuentro)
Aquí tenemos dos o más ecuaciones que trabajan juntas. Buscamos el punto (\(x, y\)) que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo.
Ejercicio 3: Sistema 2x2 por Sustitución
El Problema: Encuentra los valores de \(x\) e \(y\) que resuelven el siguiente sistema:
- a) \(x=4, y=3\)
- b) \(x=3, y=5\)
- c) \(x=5, y=1\)
- d) \(x=2, y=7\)
Desarmando el Miedo:
- ¿Qué te están preguntando en realidad?: ¿Qué par de números (\(x, y\)) hace que ambas ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo?
- La Trampa del Examinador: Un error de signo al sustituir o al despejar. También, que una de las opciones funcione en una ecuación pero no en la otra. Debes verificar en ambas.
- Conexión con la Vida Real: Quieres comprar boletos para un concierto. \(2\) boletos de adulto (\(x\)) y \(1\) de niño (\(y\)) cuestan \($11\). Tu amigo compra \(3\) de adulto (\(x\)) y le descuentan el precio de \(2\) de niño (\(y\)), pagando \($6\). El sistema de ecuaciones te permite encontrar el precio exacto de cada tipo de boleto.
Resolución Paso a Paso (Método de Sustitución):
- Despeja una variable en una de las ecuaciones: La ecuación 1 es la más fácil para despejar \(y\). De \(2x + y = 11\), obtenemos \(y = 11 - 2x\).
- Sustituye esta expresión en la otra ecuación: Ahora, en la ecuación 2, donde veas una \(y\), reemplázala con \((11 - 2x)\).
Resuelve la ecuación de una sola variable que resultó:
- Distribuye: \(3x - 22 + 4x = 6\)
- Simplifica: \(7x - 22 = 6\)
- Despeja \(x\): \(7x = 28 \rightarrow x = 4\)
Encuentra el valor de la otra variable: Ahora que sabes que \(x=4\), usa la ecuación que despejaste en el paso 1.
\(y = 11 - 2x \rightarrow y = 11 - 2(4)\)\(y = 11 - 8 \rightarrow y = 3\)Verifica (Paso Opcional pero Recomendado): Revisa si \(x=4, y=3\) funciona en ambas ecuaciones originales.
- Ecuación 1: \(2(4) + 3 = 8 + 3 = 11\). (Correcto)
- Ecuación 2: \(3(4) - 2(3) = 12 - 6 = 6\). (Correcto)
La Clave del Experto: El método de sustitución es ideal cuando una de las variables tiene un coeficiente de \(1\) o \(-1\) (como la \(y\) en la primera ecuación), porque es muy fácil de despejar sin crear fracciones. La respuesta correcta es a) \(x=4, y=3\).
Bloque 3: Ecuaciones Cuadráticas (Las Ecuaciones con Dos Vidas)
Estas ecuaciones tienen un término \(x^2\), lo que significa que pueden tener hasta dos soluciones. Piensa en ellas como historias con dos posibles finales.
Ejercicio 4: Ecuación Cuadrática por Factorización
El Problema: Encuentra las soluciones para la ecuación: \(x^2 - 8x + 15 = 0\)
- a) \(x=3, x=5\)
- b) \(x=-3, x=-5\)
- c) \(x=8, x=-15\)
- d) \(x=2, x=6\)
Desarmando el Miedo:
- ¿Qué te están preguntando en realidad?: ¿Qué números, al sustituirlos por \(x\), hacen que la operación dé cero?
- La Trampa del Examinador: Confundir los signos al factorizar. Mucha gente encuentra los números correctos (\(3\) y \(5\)) pero se equivoca en si son positivos o negativos.
- Conexión con la Vida Real: Eres un arquitecto diseñando un jardín rectangular. El área es de \(15\) metros cuadrados. Sabes que el largo es \(x\) y el ancho es \(x-8\). La ecuación \(x(x-8)=15\) se convierte en \(x^2-8x-15=0\). Resolverla te daría las posibles dimensiones de tu jardín.
Resolución Paso a Paso (Factorización):
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- Busca dos números: Necesitas encontrar dos números que cumplan dos condiciones:
- Multiplicados den el término constante (\(+15\)).
- Sumados den el coeficiente del término \(x\) (\(-8\)).
- Analiza los signos:
- Como el producto es positivo (\(+15\)), ambos números deben tener el mismo signo (o ambos + o ambos -).
- Como la suma es negativa (\(-8\)), ambos números deben ser negativos.
- Encuentra los números:
- Factores de 15: (1, 15), (3, 5).
- ¿Qué par suma 8? El 3 y el 5.
- Como deben ser negativos, los números son \(-3\) y \(-5\).
- Verificación: \(\times (-5) = +15\). \(+ (-5) = -8\). ¡Correcto!
- Escribe los factores: La ecuación factorizada es \((x - 3)(x - 5) = 0\).
- Encuentra las soluciones: Para que el producto de dos cosas sea cero, una de ellas (o ambas) debe ser cero.
- Si \(x - 3 = 0\), entonces \(x = 3\).
- Si \(x - 5 = 0\), entonces \(x = 5\).
La Clave del Experto: La factorización es el método más rápido si lo dominas. La clave está en el análisis de los signos. Si el término constante es positivo, los signos de los factores son iguales (y coinciden con el signo del término medio). Si el término constante es negativo, los signos son diferentes. La respuesta correcta es a) \(x=3, x=5\).
Ejercicio 5: La Fórmula General (El Arma Universal)
El Problema: Usa la fórmula general para encontrar las soluciones de \(2x^2 - 5x - 3 = 0\).
- a) \(x=3, x=-1/2\)
- b) \(x=-3, x=1/2\)
- c) \(x=1, x=-3/2\)
- d) \(x=2, x=-3\)
Desarmando el Miedo:
- ¿Qué te están preguntando en realidad?: Lo mismo que antes, pero con números que son más difíciles de factorizar.
- La Trampa del Examinador: Errores de cálculo dentro de la fórmula. Un signo mal puesto en \(-b\), olvidar elevar al cuadrado un número negativo (que siempre da positivo), o un error en la raíz cuadrada.
- Conexión con la Vida Real: La fórmula general se usa en física para calcular trayectorias de proyectiles, en finanzas para modelos de crecimiento y en ingeniería para optimizar sistemas. Es la herramienta a la que recurres cuando la solución no es un número entero y bonito.
Resolución Paso a Paso (Fórmula General):
- Identifica a, b y c: En la forma \(ax^2 + bx + c = 0\):
Escribe la Fórmula General (¡Apréndetela!):
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)Sustituye los valores con cuidado: Usa paréntesis para evitar errores de signo.
\(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\)Resuelve por partes:
\(-(-5) = 5\)latex^2 = 25[/latex]\(-4(2)(-3) = -8(-3) = +24\)\(2(2) = 4\)
La fórmula ahora se ve así: \(x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}\)
Continúa simplificando:
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4}\)\(x = \frac{5 \pm 7}{4}\)Encuentra las dos soluciones:
- Solución 1 (con el signo +): \(x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
- Solución 2 (con el signo -): \(x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
La Clave del Experto: La Fórmula General es tu red de seguridad. Siempre funciona, incluso si la ecuación se puede factorizar. Si ves una ecuación cuadrática y no encuentras los factores en 10 segundos, no pierdas más tiempo y ve directo a la fórmula. Es mejor un método seguro que uno rápido pero dudoso. La respuesta correcta es a) \(x=3, x=-1/2\).
Bloque 4: Funciones (La Máquina de Procesos)
Ahora entramos al mundo de las funciones, donde lo importante es la relación entre la entrada y la salida.
Ejercicio 6: Evaluación de una Función
El Problema: Dada la función \(f(x) = x^2 - 3x + 7\), ¿cuál es el valor de \(f(-4)\)?
- a) \(35\)
- b) \(11\)
- c) \(21\)
- d) \(-1\)
Desarmando el Miedo:
- ¿Qué te están preguntando en realidad?: Si metes un \(-4\) a la "máquina" de la función, ¿qué número sale?
- Conexión con la Vida Real: La función \(f(x)\) podría representar la altura de una pelota lanzada al aire en el segundo \(x\). \(f(-4)\) no tendría sentido en ese contexto (no hay tiempo negativo), pero si la función representara la temperatura en grados a \(x\) metros de profundidad, \(f(-4)\) podría ser la temperatura a \(4\) metros de altura sobre el nivel del mar. Es simplemente aplicar una regla a una entrada.
Resolución Paso a Paso:
- Reemplaza cada \(x\) con el valor dado (\(https://www.google.com/search?q=-4\)): Usa paréntesis para mantener el orden y los signos.
Resuelve siguiendo la jerarquía de operaciones (PEMDAS):
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- Exponentes: \(4^2 = 16\)
- Multiplicación: \((q=-3) (q=-4) = +12\) La expresión ahora es: \(16 + 12 + 7\)
Suma:
\(16 + 12 = 28\)\(28 + 7 = 35\)Si quieres conocer otros artículos parecidos a ¿Viene "Funciones y Ecuaciones" en tu examen? Domínalo con esta guía. puedes visitar la categoría Guías de Examen de Admisión.
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