- Ejercicios de vectores en el espacio resueltos para 2º de bachillerato
- Resolución de ecuaciones de la recta y el plano
- Posiciones relativas en geometría
- Ejercicios de distancias en geometría
- Ángulos en el espacio R3
- Ejercicios clásicos de examen
- Ejercicios del punto genérico de una recta resueltos
- Ejercicios de selectividad resueltos en geometría de 2º de bachillerato
¿Te enfrentas a un examen de geometría en el último año de bachillerato y necesitas un refuerzo? Aquí encontrarás una recopilación de ejercicios resueltos que te ayudarán a consolidar tus conocimientos y a maximizar tu rendimiento en los exámenes. Con explicaciones detalladas y enlaces a soluciones en video, estarás bien preparado para cualquier desafío. ¡Vamos a ello!
Si buscas una introducción más completa sobre el tema, te invito a seguir este tutorial de geometría en el espacio que te dará las bases necesarias.
Ejercicios de vectores en el espacio resueltos para 2º de bachillerato
Los ejercicios de vectores son fundamentales en la geometría del espacio. Resolver problemas relacionados con vectores te ayudará a entender conceptos clave como la perpendicularidad, el producto escalar y el producto vectorial. A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos que pueden ser útiles para tu estudio.
- Ejercicio resuelto: Sean los puntos A(1,0,2), B(0,1,1) y C(1,1,0). Calcula:
- a) Los vectores AB y AC
- b) El producto escalar entre esos dos vectores, verificando si son perpendiculares
- c) El ángulo entre los dos vectores
- d) El producto vectorial entre los dos vectores
- Ejercicio resuelto: Hallar a y b para que los vectores (a, −1, 2) y (1, b, −2) sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales.
- Ejercicio resuelto: Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores (1, 2, 3) y (1, -2, -3).
Resolución de ecuaciones de la recta y el plano
Las ecuaciones de la recta y del plano son herramientas esenciales en la geometría analítica. Resolver estos ejercicios te permitirá comprender mejor cómo se interrelacionan las diferentes entidades geométricas en el espacio tridimensional.
Ejercicio resuelto: Ecuación del plano que pasa por tres puntos
Calcular la ecuación general del plano que pasa por A(-1,0,-1), B(-1,-1,0) y C(0,1,-1).
Ejercicio resuelto: Recta perpendicular a un plano
Calcular la ecuación paramétrica de la recta que pasa por A(-1,0,3) y es perpendicular al plano π: x - y + 3z = 2.
Posiciones relativas en geometría
Entender la posición relativa entre rectas, planos o incluso entre ellos es crucial para resolver problemas de geometría espacial. Aquí algunos ejercicios que te ayudarán a dominar este concepto.
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Posición relativa entre recta y plano
Estudiar la posición relativa entre la recta r y el plano π: x + y + z = 2.
Posición relativa entre rectas
Ejercicio resuelto: Estudiar la posición relativa entre las rectas.
Posición relativa entre dos planos
Ejercicio: Estudiar la posición relativa entre los planos π1: x - 3y + 2z = 1 y π2: -2x + 6y - 4z = 3.
Ejercicios de distancias en geometría
Calcular distancias entre puntos, rectas y planos es un tema recurrente en los exámenes de geometría. Aquí tienes ejercicios resueltos para practicar.
Ejercicio resuelto: Distancia del punto a un plano
Calcular la distancia del punto P(1,0,-2) al plano π: -2x + 3y + 2z - 1 = 0.
Ejercicio resuelto: Distancia entre dos planos
Calcular la distancia entre los planos π1: 2x - y + z = 3 y π2: 4x - 2y + z = -1.
Ángulos en el espacio R3
Calcular ángulos entre vectores, rectas y planos es fundamental para resolver diversas situaciones geométricas. Aquí presento algunos ejercicios resueltos que reflejan esta temática.
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Ejercicio resuelto: Cálculo del ángulo entre un plano y una recta
Calcular el ángulo entre el plano π: x + 3y + 2z - 3 = 0 y la recta.
Ejercicios clásicos de examen
Los siguientes ejercicios son considerados clásicos en el ámbito de la geometría del espacio. Practicarlos te permitirá familiarizarte con los problemas más frecuentes que aparecen en los exámenes.
Simétrico de un punto respecto a una recta
Determina el punto simétrico de P(-3,1,-7) respecto a la recta.
Simétrico de un punto respecto a un plano
Determina el punto simétrico de P(1,1,1) respecto al plano π: x - y + z = 5.
Ejercicios del punto genérico de una recta resueltos
Resolver problemas que involucran puntos genéricos de una recta puede ser desafiante, pero con práctica se vuelve más fácil. Aquí tienes un ejercicio que te ayudará a dominar este tipo de problemas.
Ejercicio: Calcular los puntos de una recta que equidistan de dos planos.
Ejercicios de selectividad resueltos en geometría de 2º de bachillerato
A continuación, se presentan algunos ejercicios de selectividad que han sido resueltos para ayudarte a estar preparado. Es importante trabajar en estos problemas, ya que son un buen reflejo de lo que puedes encontrar en un examen real.
- Ejercicio resuelto: Dados los puntos A(1,1,-2), B(3,-1,4) y la recta r: (x = 1 + 3λ; -2 + 5λ; z = 3). Se pide:
- a) Calcular el área del triángulo OPQ, siendo O(0,0,0), P el punto medio del segmento AB y Q la intersección de la recta que pasa por A y B y el plano π: z = 7.
- b) Hallar la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a la recta r.
- c) Calcular el coseno del ángulo que forman la recta r y la recta que pasa por A y B.
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