Ejercicios resueltos sobre intervalos de confianza

Entender los intervalos de confianza es fundamental para quienes se aventuran en el mundo de la estadística, ya que son herramientas clave para realizar inferencias sobre poblaciones a partir de muestras. En este artículo, profundizaremos en los conceptos, la aplicación y la resolución de ejercicios relacionados con los intervalos de confianza, proporcionando ejemplos claros y ejercicios prácticos.

¿Qué son los intervalos de confianza?

Los intervalos de confianza son rangos de valores que se utilizan en estadística para estimar un parámetro poblacional, como una media o proporción. Se construyen a partir de una muestra y ofrecen un rango en el cual se espera que se encuentre el valor verdadero del parámetro con un determinado nivel de confianza, generalmente expresado como un porcentaje (por ejemplo, 95% o 99%).

Por ejemplo, si se realiza un estudio para determinar la media de estatura de una población y se obtiene un intervalo de confianza del 95% que va de 160 a 170 cm, se puede interpretar que hay un 95% de confianza de que la media real de estatura de la población se encuentra dentro de ese rango.

Fórmulas para intervalos de confianza

La fórmula general para calcular un intervalo de confianza depende del tipo de parámetro que se está estimando:

• Para la media (cuando la desviación estándar de la población es conocida):

  IC = X̄ ± Z * (σ/√n)

• Para la media (cuando la desviación estándar de la población es desconocida):

  IC = X̄ ± t * (s/√n)

• Para proporciones:

  IC = p̂ ± Z * √(p̂(1-p̂)/n)

Donde:

• X̄ = media muestral
• p̂ = proporción muestral
• σ = desviación estándar poblacional
• s = desviación estándar muestral
• n = tamaño de la muestra
• Z = valor crítico de la distribución normal
• t = valor crítico de la distribución t de Student

Ejercicios resueltos de intervalos de confianza para la media

A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos sobre intervalos de confianza para la media:

Ejemplo 1: Suponga que se toma una muestra de 25 estudiantes de una universidad y se encuentra una media de estatura de 175 cm con una desviación estándar de 10 cm. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la media de estatura poblacional.

• Media muestral (X̄) = 175 cm
• Desviación estándar (σ) = 10 cm
• Tamaño de la muestra (n) = 25
• Valor crítico Z para 95% = 1.96

Aplicando la fórmula:

IC = 175 ± 1.96 * (10/√25) = 175 ± 3.92

Por lo tanto, el intervalo de confianza es (171.08 cm, 178.92 cm).

Ejercicios resueltos de intervalos de confianza para proporciones

Los intervalos de confianza también se pueden calcular para proporciones, lo cual es útil en estudios de opinión o encuestas.

Ejemplo 2: En una encuesta, se encontró que 120 de 400 personas estaban a favor de una nueva política. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la proporción de personas a favor.

• Proporción muestral (p̂) = 120/400 = 0.3
• Tamaño de la muestra (n) = 400
• Valor crítico Z para 95% = 1.96

Aplicando la fórmula:

IC = 0.3 ± 1.96 * √(0.3(1-0.3)/400) = 0.3 ± 0.0486

Así, el intervalo de confianza es (0.2514, 0.3486).

Ejercicios de intervalos de confianza para la varianza

Calcular intervalos de confianza para la varianza es menos común, pero es igualmente importante en ciertos contextos estadísticos.

Ejemplo 3: Suponga que se tiene una muestra de 20 observaciones con una varianza muestral de 25. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional.

• Varianza muestral (s²) = 25
• Tamaño de la muestra (n) = 20
• Valor crítico χ² para 95% (con 19 grados de libertad) = 32.852

Aplicando la fórmula para varianza:

IC = ((n-1)s²/χ²(1-α/2), (n-1)s²/χ²(α/2))

IC = ((19*25/32.852), (19*25/10.117)) = (14.490, 47.164)

Por lo tanto, el intervalo de confianza para la varianza poblacional es (14.490, 47.164).

Ejercicios de intervalos de confianza para la media usando la distribución t de Student

Cuando la muestra es pequeña (n < 30) y la desviación estándar poblacional es desconocida, se utiliza la distribución t de Student.

Ejemplo 4: Suponga que se ha recolectado una muestra de 15 estudiantes con una media muestral de 80 y una desviación estándar de 12. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

• Media muestral (X̄) = 80
• Desviación estándar (s) = 12
• Tamaño de la muestra (n) = 15
• Valor crítico t para 95% (con 14 grados de libertad) = 2.145

Aplicando la fórmula:

IC = 80 ± 2.145 * (12/√15) = 80 ± 6.24

El intervalo de confianza es (73.76, 86.24).

Ejercicios de intervalos de confianza resueltos para selectividad

Los intervalos de confianza son una parte esencial del currículo de estadística en educación secundaria. Aquí presentaremos ejercicios de selectividad que son comunes en los exámenes.

Ejemplo 5: En un examen, se pidió a 50 estudiantes que evaluaran un curso en una escala de 1 a 10. La media de las evaluaciones fue de 7.2 con una desviación estándar de 1.5. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la media de las evaluaciones.

• Media muestral (X̄) = 7.2
• Desviación estándar (s) = 1.5
• Tamaño de la muestra (n) = 50
• Valor crítico t para 95% (con 49 grados de libertad) = 2.009

Aplicando la fórmula:

IC = 7.2 ± 2.009 * (1.5/√50) = 7.2 ± 0.425

Así, el intervalo de confianza es (6.775, 7.625).

Recursos adicionales para el aprendizaje de intervalos de confianza

Para aquellos interesados en profundizar en el tema de intervalos de confianza, existen múltiples recursos disponibles:

• Statistics How To
• Khan Academy
• YouTube - Tutoriales sobre intervalos de confianza

Estos recursos ofrecen una variedad de enfoques y ejercicios adicionales que pueden ayudar a consolidar el conocimiento sobre intervalos de confianza.

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