Regla de Cramer y ejercicios resueltos explicados

La Regla de Cramer es una de las herramientas más poderosas dentro del álgebra lineal, utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aunque puede parecer compleja al principio, su aplicación es fundamental para muchos campos de la ciencia, la ingeniería y la economía. En este artículo, exploraremos en profundidad la Regla de Cramer, desde su origen y aplicación, hasta ejemplos prácticos que facilitarán su comprensión.

¿Quién fue Gabriel Cramer?

Gabriel Cramer, un destacado matemático suizo del siglo XVIII, es conocido por sus contribuciones esenciales al álgebra y a la teoría de sistemas de ecuaciones. Nacido en 1704, Cramer desarrolló su famosa regla en 1750, la cual se basa en el trabajo de matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano y Gottfried Wilhelm Leibniz. Cramer se destacó por su habilidad para trabajar con determinantes y su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones, dejando un legado que perdura hasta nuestros días.

Su obra más notable, “Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques”, no solo aborda la regla que lleva su nombre, sino que también sienta las bases para el estudio de las funciones algebraicas. La regla de Cramer permite resolver sistemas lineales mediante determinantes, un concepto que se ha vuelto fundamental en el álgebra lineal moderna.

¿Cuándo utilizar la regla de Cramer?

La Regla de Cramer es una técnica útil, pero es importante saber cuándo aplicarla. Una de las condiciones esenciales es que el número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas. Esto significa:

• Para un sistema de 2x2, se requieren 2 incógnitas.
• Para un sistema de 3x3, se requieren 3 incógnitas.

Si estas condiciones no se cumplen, la regla de Cramer no será efectiva. Además, hay que tener en cuenta que:

• El determinante de la matriz del sistema debe ser diferente de cero; de lo contrario, el sistema no tiene solución única.
• Los sistemas de mayor tamaño, como matrices de 4x4 o más, pueden volverse extremadamente complicados y tediosos de resolver con esta regla.

¿En qué consiste la regla de Cramer?

La Regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones puede representarse mediante matrices, lo que facilita su análisis y solución. La regla establece que, para un sistema de ecuaciones lineales, los valores de las incógnitas se pueden encontrar utilizando determinantes específicos.

Para un sistema 2x2

Consideremos un sistema de ecuaciones 2x2:

$ displaystyle begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}y={{a}_{3}}\{{b}_{1}}x+{{b}_{2}}y={{b}_{3}}end{array}$

Para aplicar la regla, definimos los siguientes determinantes:

• Determinante del sistema: $ displaystyle Delta s=left| begin{matrix}{{a}_{1}} & {{a}_{2}} \ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} end{matrix} right|$
• Determinante de "x": $ displaystyle Delta x=left| begin{matrix}{{a}_{3}} & {{a}_{2}} \ {{b}_{3}} & {{b}_{2}} end{matrix} right|$
• Determinante de "y": $ displaystyle Delta y=left| begin{matrix}{{a}_{1}} & {{a}_{3}} \ {{b}_{1}} & {{b}_{3}} end{matrix} right|$

Los valores de "x" y "y" se calculan como:

$ displaystyle x=frac{Delta x}{Delta s}$

$ displaystyle y=frac{Delta y}{Delta s}$

Para un sistema 3x3

Un sistema 3x3 se compone de tres ecuaciones con tres incógnitas, y se puede expresar como:

$ displaystyle left{ begin{matrix} ax+by+cz=m \ dx+ey+fz=n \ gx+hy+iz=r \ end{matrix} right.$

Los determinantes se definen de la siguiente manera:

• Determinante del sistema: $ displaystyle Delta s=left| begin{matrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{matrix} right|$
• Determinante de "x": $ displaystyle Delta x=left| begin{matrix} m & b & c \ n & e & f \ r & h & i end{matrix} right|$
• Determinante de "y": $ displaystyle Delta y=left| begin{matrix} a & m & c \ d & n & f \ g & r & i end{matrix} right|$
• Determinante de "z": $ displaystyle Delta z=left| begin{matrix} a & b & m \ d & e & n \ g & h & r end{matrix} right|$

Las soluciones se obtienen mediante:

$ displaystyle x=frac{Delta x}{Delta s}$

$ displaystyle y=frac{Delta y}{Delta s}$

$ displaystyle z=frac{Delta z}{Delta s}$

Ejercicios resueltos de la regla de Cramer 2x2

Resolver sistemas de ecuaciones es más fácil con ejemplos. A continuación, analizaremos algunos problemas concretos.

Ejemplo 1: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante la Regla de Cramer:

$ displaystyle begin{array}{l}-3x+4y=5\x-9y=-2end{array}$

Calculamos:

$ displaystyle x=frac{Delta x}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} 5 & 4 \ -2 & -9 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} -3 & 4 \ 1 & -9 end{matrix} right|}=frac{(-45)-(-8)}{(-3)(-9)-(4)(1)}=-frac{37}{23}$

Por lo tanto, el valor de "x" es -37/23.

Ahora calculamos "y":

$ displaystyle y=frac{Delta y}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} -3 & 5 \ 1 & -2 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} -3 & 4 \ 1 & -9 end{matrix} right|}=frac{6-5}{(-3)(-9)-(4)(1)}=frac{1}{23}$

Por lo tanto, el valor de "y" es 1/23.

La solución del sistema es:

$ displaystyle left( -frac{37}{23}, frac{1}{23} right)$

Ejemplo 2: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones 2x2 mediante la regla de Cramer:

$ displaystyle begin{array}{l}x-5y=8\-7x+8y=25end{array}$

Calculamos "x":

$ displaystyle x=frac{Delta x}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} 8 & -5 \ 25 & 8 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} 1 & -5 \ -7 & 8 end{matrix} right|}=frac{64-(-5)(25)}{(1)(8)-(-5)(-7)}=-frac{189}{27}=-7$

Por lo tanto, el valor de "x" es 7.

Ahora calculamos "y":

$ displaystyle y=frac{Delta y}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} 1 & 8 \ -7 & 25 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} 1 & -5 \ -7 & 8 end{matrix} right|}=frac{25-(-7)(8)}{(1)(8)-(-5)(-7)}=-frac{81}{27}=-3$

La solución del sistema es:

$ displaystyle left( -7, 3 right)$

Ejercicios resueltos de la regla de Cramer 3x3

Continuaremos con ejemplos aplicando la regla de Cramer a sistemas de 3x3.

Ejemplo 3: Resuelve mediante la regla de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones:

$ displaystyle left{ begin{matrix} 3x-y+z=7 \ -2x+y-z=-5 \ 4x+7y+5z=1 \ end{matrix} right.$

Solución:

Para calcular "x":

$ displaystyle x=frac{Delta x}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} 7 & -1 & 1 \ -5 & 1 & -1 \ 1 & 7 & 5 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} 3 & -1 & 1 \ -2 & 1 & -1 \ 4 & 7 & 5 end{matrix} right|}=frac{24}{12}=2$

Ahora calculamos "y":

$ displaystyle y=frac{Delta y}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} 3 & 7 & 1 \ -2 & -5 & -1 \ 4 & 1 & 5 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} 3 & -1 & 1 \ -2 & 1 & -1 \ 4 & 7 & 5 end{matrix} right|}=-frac{12}{12}=-1$

Finalmente, calculamos "z":

$ displaystyle z=frac{Delta z}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} 3 & -1 & 7 \ -2 & 1 & -5 \ 4 & 7 & 1 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} 3 & -1 & 1 \ -2 & 1 & -1 \ 4 & 7 & 5 end{matrix} right|}=frac{0}{12}=0$

La solución del sistema de ecuaciones es:

$ displaystyle left( 2, -1, 0 right)$

Ejemplo 4: Resuelve el siguiente sistema mediante la regla de Cramer:

$ displaystyle left{ begin{matrix} -x+2y+4z=1 \ 4x+6y-2z=2 \ x-y+6z=3 \ end{matrix} right.$

Calculamos "x":

$ displaystyle x=frac{Delta x}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} 1 & 2 & 4 \ 2 & 6 & -2 \ 3 & -1 & 6 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} -1 & 2 & 4 \ 4 & 6 & -2 \ 1 & -1 & 6 end{matrix} right|}=frac{-82}{-126}=frac{41}{63}$

Ahora para "y":

$ displaystyle y=frac{Delta y}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} -1 & 1 & 4 \ 4 & 2 & -2 \ 1 & 3 & 6 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} -1 & 2 & 4 \ 4 & 6 & -2 \ 1 & -1 & 6 end{matrix} right|}=frac{-4}{-126}=frac{2}{63}$

Finalmente, para "z":

$ displaystyle z=frac{Delta z}{Delta s}=frac{left| begin{matrix} -1 & 2 & 1 \ 4 & 6 & 2 \ 1 & -1 & 3 end{matrix} right|}{left| begin{matrix} -1 & 2 & 4 \ 4 & 6 & -2 \ 1 & -1 & 6 end{matrix} right|}=frac{-50}{-126}=frac{25}{63}$

Por lo que la solución es:

$ displaystyle left( frac{41}{63}, frac{2}{63}, frac{25}{63} right)$

Ejercicios para practicar

Para consolidar lo aprendido, aquí hay algunos ejercicios propuestos. Intenta resolverlos utilizando la Regla de Cramer:

• $ displaystyle left{ begin{matrix} x-2y=7 \ 3x-y=6 \ end{matrix} right.$
• $ displaystyle left{ begin{matrix} x-5y=8 \ -7x+8y=25 \ end{matrix} right.$
• $ displaystyle left{ begin{matrix} 3x-2y=13 \ 2x+4y=3 \ end{matrix} right.$
• $ displaystyle left{ begin{matrix} x+y+z=6 \ x-y+2z=5 \ x-y-3z=-10 \ end{matrix} right.$
• $ displaystyle left{ begin{matrix} 6x+3y+2z=12 \ 9x-y+4z=37 \ 10x+5y+3z=21 \ end{matrix} right.$

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